Давным давно:
Мама заходит в комнату и, видя читающую дочь, спрашивает:
- Что ты читаешь?
Дочь, увлекшись чтением, на автомате отвечает:
- А ну-ка догадайся.
На что получает непредвиденную реакцию:
- Как ты смеешь так со мной разговаривать?!
Мама исчезает из комнаты. Дочь находится в ступоре некоторое время. Наконец, доходит смысл произошедшей ситуации, берет книгу и идет вслед за мамой на кухню.
С извинениями о своей тормознутости и неопровержимым доказательством своей правоты, показывает маме обложку книги.
Книга называется: "А ну-ка догадайся!"
читать дальше
М е т а я з ы к и
Чтобы разрешить семантические парадоксы, используют специальный прием - так называемые метаязыки. Утверждения об окружающем мире, например "Яблоки синие" или "Яблоки красные", делаются на объектном языке. Утверждения об истинностных значениях следует делать на метаязыке.

Пример:
А: Утверждение В ложно
В: Яблоки синие
В этом примере никакого парадокса нет и не может быть, так как утверждение А, записанное, по предположению, на метаязыке, относится к значению истинности утверждения В, записанного на объектном языке.

А каким образом мы могли бы говорить о значениях истинности утверждений, записанных на метаязыке? Для этого нам пришлось бы подняться на еще одну ступень и ввести метаметаязык. Каждая ступень бесконечной лестницы является метаязыком по отношению к предыдущей ступени (расположенной ниже) и объектным языком по отношению к следующей ступени (расположенной выше).

Понятие "метаязык" было введено польским математиком Альфредом Тарским. На нижней ступени лестницы находятся утверждения об объектах, например "У Марса две луны". Такие слова, как "истина" и "ложь", не входят в язык низшей ступени. Чтобы говорить об истинности или ложности утверждений, высказанных на языке низшей ступени, мы должны воспользоваться метаязыком - следующей, более высокой ступенью лестницы. Метаязык включает в себя весь объектный язык, но не исчерпывается им. Метаязык "богаче" объектного языка, поскольку позволяет говорить об истинности и ложности утверждений, записанных на объектном языке. Любимый пример Тарского: "Снег белый" - утверждение из объектного языка, "Утверждение "Снег белый" истинно" - утверждение из метаязыка.
Можно ли говорить об истинности или ложности утверждений из метаязыка? Можно, но лишь поднявшись на третью ступень лестницы и говоря на более высоком метаязыке, позволяющим высказывать утверждения об истинности или ложности утверждений всех языков более низких ступеней.
Каждая ступень лестницы является объектным языком по отношению к ступени, расположенной непосредственно над ней. Каждая ступень, за исключением самой нижней, является метаязыком по отношению к ступени, расположенной непосредственно под ней. Лестница простирается вверх сколь угодно далеко.
Примеры утверждений на языках первых четырех ступеней.
А. Сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°.
В. Утверждение А истинно.
С. Утверждение В истинно.
D. Утверждение С истинно.
Язык на уровне А позволяет формулировать теоремы о геометрических объектах. Геометрический текст, содержащий доказательства теорем, написан на метаязыке уровня В. Книги по теории доказательств написаны на языке уровня С. К счастью, математикам редко приходится подниматься выше уровня С.
Теоретическая нескончаемость, или бесконечность, лестницы в занимательной форме рассмотрена в статье Льюиса Кэрролла "Что черепаха сказала Ахиллу"*.

*Кэрролл Л. История с узелками. - М.: Мир, 1973, с. 368-372.

Выдержка из книги Мартина Гарднера "А ну-ка, догадайся!". - М.: Мир, 1984.